Quantos leões são necessários para matar um cordeiro? A resposta não é tão direta quanto você imagina. Não, pelo menos, de acordo com a teoria dos jogos.

Teoria do jogo é um ramo da matemática que estuda e prevê a tomada de decisões. Frequentemente envolve a criação de cenários hipotéticos, ou “jogos”, através dos quais um número de indivíduos chamados “jogadores” ou “agentes” podem escolher entre um conjunto definido de ações de acordo com uma série de regras. Cada ação terá um "pay-off" e o objetivo é geralmente encontrar o máximo de retorno para cada jogador, a fim de descobrir como eles provavelmente se comportariam.

Este método tem sido usado em uma ampla variedade de assuntos, incluindo economia, biologia, política e psicologiae ajudar a explicar o comportamento em leilões, votação e concorrência no mercado. Mas a teoria dos jogos, graças à sua natureza, também deu origem a alguns quebra-cabeças divertidos.

Um dos menos famosos desses quebra-cabeças envolve descobrir como os jogadores competirão por recursos, neste caso leões famintos e um saboroso cordeiro. Um grupo de leões vive em uma ilha coberta de grama, mas sem outros animais. Os leões são idênticos, perfeitamente racionais e conscientes de que todos os outros são racionais. Eles também estão cientes de que todos os outros leões estão cientes de que todos os outros são racionais e assim por diante. Esta consciência mútua é o que é referido como "conhecimento comum" Garante que nenhum leão se arrisque ou tente enganar os outros.

Naturalmente, os leões são extremamente famintos, mas eles não tentam lutar uns contra os outros, porque eles são idênticos em força física e, inevitavelmente, todos acabam mortos. Como todos são perfeitamente racionais, cada leão prefere uma vida faminta a uma morte certa. Sem alternativa, eles podem sobreviver comendo um suprimento essencialmente ilimitado de grama, mas todos prefeririam consumir algo mais saboroso.

Um dia, um cordeiro milagrosamente aparece na ilha. Que criatura infeliz parece. No entanto, ele realmente tem uma chance de sobreviver a esse inferno, dependendo do número de leões (representado pela letra N). Se algum leão consome o cordeiro indefeso, ficará cheio demais para se defender dos outros leões.

Assumindo que os leões não podem compartilhar, o desafio é descobrir se o cordeiro vai sobreviver ou não, dependendo do valor de N. Ou, em outras palavras, qual é o melhor curso de ação para cada leão - comer o cordeiro ou não comer o cordeiro - dependendo de quantos outros existem no grupo.

A solução

Este tipo de problema de teoria dos jogos, onde você precisa encontrar uma solução para um valor geral de N (onde N é um número inteiro positivo), é uma boa maneira de testar a lógica de teóricos de jogos e demonstrar como a indução retroativa funciona. A indução lógica envolve o uso de evidências para formar uma conclusão que provavelmente é verdadeira. Indução para trás é uma maneira de encontrar uma resposta bem definida para um problema voltando, passo a passo, ao caso muito básico, que pode ser resolvido por um simples argumento lógico.

No jogo dos leões, o caso básico seria N = 1. Se houvesse apenas um leão faminto na ilha, não hesitaria em comer o cordeiro, já que não há outros leões para competir com ele.

Agora vamos ver o que acontece no caso de N = 2. Os dois leões concluem que, se um deles come o cordeiro e fica cheio demais para se defender, ele seria comido pelo outro leão. Como resultado, nenhum dos dois tentaria comer o cordeiro e os três animais viveriam felizes juntos comendo grama na ilha (se viver uma vida dependente apenas da racionalidade de dois leões famintos pode ser chamado de feliz).

Para N = 3, se qualquer um dos leões comer o cordeiro (efetivamente se tornando um cordeiro indefeso), reduziria o jogo ao mesmo cenário que para N = 2, no qual nenhum dos leões restantes tentará consumir o cordeiro. Leão recém indefeso. Então o leão que está mais próximo do cordeiro, come-o e três leões permanecem na ilha sem tentar matar um ao outro.

E para N = 4, se algum dos leões comer o cordeiro, reduziria o jogo para o cenário N = 3, o que significaria que o leão que comeu o cordeiro acabaria sendo comido por si próprio. Como nenhum dos leões quer que isso aconteça, eles deixam o cordeiro sozinho.

Essencialmente, o resultado do jogo é decidido pela ação do leão mais próximo do cordeiro. Para cada inteiro N, o leão percebe que comer o cordeiro reduziria o jogo para o caso de N-1. Se o caso N-1 resultar na sobrevivência do cordeiro, o leão mais próximo o consome. Caso contrário, todos os leões deixam o cordeiro viver. Então, seguindo a lógica de volta ao caso base todas as vezes, podemos concluir que o cordeiro sempre será comido quando N for um número ímpar e sobreviverá quando N for um número par.

Sobre o autor

Amirlan Seksenbayev, Doutorando em Ciências Matemáticas, Probabilidade e Aplicações, Queen Mary University of London

Este artigo foi originalmente publicado em A Conversação. Leia o artigo original.

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